Урок «Степенные функции, их свойства и графики. Степенная функция, ее свойства и график Демонстрационный материал Урок-лекция Понятие функции. Свойства функции. Степенная функция, ее свойства и график. Урок степенная функция ее свойства и график
Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
Цели урока:
Образовательная:
Создать условия для формирования знаний о свойствах и особенностях графиков степенных функций y = x r при различных значениях r .
Развивающие:
Способствовать развитию информационных умений учащихся: умения работать с текстом слайда, умения составлять опорный конспект.
Способствовать развитию творческой и мыслительной деятельности учащихся.
Продолжить формирование умений чётко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.
Воспитательные:
Продолжить развитие культуры математической речи.
Способствовать формированию коммуникативной компетентности.
Тип урока: комбинированный
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.
Средства обучения:
компьютер, медиапроектор;
классная доска;
слайдовая презентация (PowerPoint ), (приложение 1);
учебник «Алгебра и начала анализа» под ред. А.Г.Мордковича;
рабочая тетрадь, чертёжные инструменты;
опорный конспект темы (документ Word ), (приложение 3);
В результате изучения темы учащиеся должны
Знать: понятие степенной функции,
свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Уметь: называть свойства степенной функции в зависимости от показателя,
строить графики (эскизы графиков) степенных функций с рациональным
показателем,
выполнять простейшие преобразования графиков,
уметь составлять опорный конспект,
уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.
Ход урока: Мы продолжаем работу над формированием умений построения графиков степенных функций. Целый ряд таких функций знакомы нам из курса алгебры 7-9 классов, это функции с натуральным показателем, и степенные функции с отрицательным целым показателем. На прошлом уроке мы записали с вами теорию по степенным функциям с дробными показателями
у = х р, где р – заданное действительное число
Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р.
2.
Обобщение свойств степенной функции. Работа с опорным конспектом.
1.Работа на доске: построить графики функций. у=х 4 , у=х 7 , у=х -2 ,у=х -5 , у=х 2/5 , у=х 1,3 , у=х -1/3
7 человек работают у доски, оставшиеся на местах, объединены в группы, для дальнейшей проверки
Перечисляем свойства по плану.
Область определения.
Область значений (множество значений).
Четность, нечетность функции.
Возрастание, убывание.
По окончании работы, проверка учениками, которые оставались на местах (на экран высвечиваются слайды с графиками функций).
2. «математическое лото» На экране высвечиваются готовые графики функций, на доске записаны наборы формул, необходимо установить взаимосвязь.
Взаимопроверка:
Правильные ответы: №1 578 643 192
3 Устная работа
1. Используя графики данных функций, найти промежутки, на которых график функции у=х π лежит выше (ниже) графика функции у = х.
2. Используя графики данных функций, найти промежутки, на которых график функции у=х sin 45 лежит выше (ниже) графика функции у = х.
3. Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции у=х 1- π лежит выше (ниже) графика функции у = х.
Преобразование графиков
Во м6ногих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков функций более простого вида. Давайте вспомним некоторые из них.
Рассмотреть устно преобразования графика степенной функции, а затем построить два графика.
Самостоятельная работа
Задайте самостоятельно степенную функцию, постройте её график, опишите свойства
Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Свойства. Графики"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Степенные функции, область определения.
Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^{\frac{m}{n}}$.
Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac{m}{n}>1$.
Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$.
Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч ${x}$. Давайте схематично изобразим наш график функции.
Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $0 2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $$,
б) $(2,10)$,
в) на луче $$.
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе?
Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:
$y"=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3$.
2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$y"=8\sqrt{x^3}-x^3=0$.
$8*\sqrt{x^3}=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt{64}=4$.
Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$.
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
Ответ: $y_{наим.}=-862,65$ при $x=9$; $y_{наиб.}=38,4$ при $x=4$.
Пример. Решить уравнение: $x^{\frac{4}{3}}=24-x$.
Решение. График функции $y=x^{\frac{4}{3}}$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение.
Заметим:
$8^{\frac{4}{3}}=\sqrt{8^4}=(\sqrt{8})^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения.
Ответ: $х=8$.
Пример.
Построить график функции: $y=(x-3)^\frac{3}{4}+2$.
Решение.
График нашей функции получается из графика функции $y=x^{\frac{3}{4}}$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.
Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{4}{5}}$ в точке $х=1$.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашем случае $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1$.
Найдем производную:
$y"=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}$.
Вычислим:
$f"(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}$.
Найдем уравнение касательной:
$y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Ответ: $y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac{4}{3}$ на отрезке:а) $$.
б) $(4,50)$.
в) на луче $$.
3. Решить уравнение: $x^{\frac{1}{4}}=18-x$.
4. Построить график функции: $y=(x+1)^{\frac{3}{2}}-1$.
5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$. 4.3 СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Содержание учебного материала:
1.Степенная функция, определение, обозначение.
2.Основные свойства степенной функции.
3.Графики степенной функции и их особенности.
4. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.
5.Использование свойств функций для сравнения значений степеней.
Степенной называют функцию вида y = x r , где х- основание степени,
r – показатель степени, Свойства степенной функции определяются её показателем. Рассмотрим основные свойства степенных функций с различными показателями и их графики.
а) Свойства функции y = x r , r > 1
D(х) = }